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布尔巴基学派 数学史上的达芬奇密码数学

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1939年,巴黎的书店里推出一本新书《数学原本(第一卷)》作者署名为尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki),名不见经传。由于第二次世界大战很快爆发,此书并不为人知晓。但是,此书继续出版,平均每年一卷,慢慢地有了名气,只是无人知道布尔巴基究竟何许人,后来竟成了数学界的一个"谜"。


1950年,布尔巴基在《美国数学月刊》上发表一篇文章。在有关作者的一个注脚中写道:"尼·布尔巴基教授,前在波达维亚(Poldavia)皇家学院,现定居法国南锡,写了一套《数学原本》,内容是关于现代数学的综合性丛书(出版商赫尔曼(Hermann),巴黎,1939年起),现在已有10卷问世"这是布尔巴基第一次露面,但是所谓"波达维亚的布尔巴基"纯属子虚乌有,人们揣测,这不过是一个笔名!

《数学原本》是一本博大精深的著作。它涉及现代数学的各个领域,概括某些最新的研究成果,以其严谨而别具一格的方式,将数学按结构重新组织,形成了自己的新体系。内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数轮、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形、李群等分支。1965 年出到31卷,现在共有40卷。  

尽管人们早已知道布尔巴基是一个集体,为首的几个人也被猜中,但他们自己一直不予承认,而是故弄玄虚,尽量组织别人揭穿他们的秘密。  


1968年,笼罩在布尔巴基上的面纱终于揭开。这个集体的一位领导人迪厄多内(Jean Alexandre Eugene Dieudonne,1906~1992)在罗马尼亚布加勒斯特数学研究所发表演讲,题为《布尔巴基的事业》。


布尔巴基的事业,是一批法国青年开始做起来的。1924年,一批18岁的青年来到法国巴黎高等师范学校(法国最高学府)求学。  


巴黎的老一辈大学问家是不少的。像皮卡、蒙泰尔(Paul Antuan Aristid Montel, 1876~1975)、波莱尔、阿达马(Jacques-Salomon Hadamard, 1865~1963)、当儒瓦(Arnaud Denjoy, 1884~1974)、勒贝格,在1924年还都健在,但已经是50岁上下的人了。他们和这批18岁青年整整隔了一代。尽管他们手把手地给他们讲授一年级课程,这批年轻人却没有满足。他们问:"年轻的数学家到哪里去了?"原来,第一次世界大战时,德国把数学家放到增强军队战斗力的技术岗位(如柯朗在通讯部门服役),而法国却把大学生赶上前线,致使"高师"的战时师生名册里面大多加了黑框。直到1924年,年轻的数学家尚未成长起来。以致在讲台上教书的都是四五十岁的老教师,气氛显得沉闷。  


渐渐地,一批青年人聚在一起议论法国数学发展中青年人的责任。其中以H.嘉当(Henri Paul Cartan, 1904~)、韦伊两人为首,吸引了德尔萨特(Jean Delsarte,1903~1968)、迪厄多内、谢瓦莱三个人,后来又有艾伦伯格(唯一的外国人——波兰人)参加。他们曾分析形势,首先,法国现在是函数论王国,上面列出的老一辈学问家都是搞函数论的,除了阿达马的讨论班有一扇通向国外的窗口之外,国外的数学发展情况很不清楚。至于E.嘉当的工作虽然开创了李群与微分几何理论的研究,但要到20年以后才发觉其重要性,当时并未被注意到。其次,他们感到教师年龄太大,"50岁数学家的知识只是他在二三十岁时所学到的数学,而对他50岁当时的数学,通常只有模糊的概念,这是我们不得不接受的事实。"于是,韦伊首先走到国外,看到了当时德国的阿廷、诺特、西格尔、哈塞等代数方面崭新的工作,匈牙利的黎斯、波兰的巴拿赫已经开创了泛函分析、美国学派已在向代数拓扑学进攻。这些年轻人再也坐不住了,他们决心打破这一"函数论王国"的束缚,继承从费马到庞加莱博学多才的数学传统,把法国数学重新改造,于是出现了"布尔巴基运动"。  


布尔巴基学派 数学史上的达芬奇密码数学

1927年,这批学生毕业了,有的留在巴黎,有的在法国各地。H.嘉当和韦伊在斯特拉斯堡大学教微积分,用的是古尔萨(Edouard Jean-Baptiste Goursat, 1858~1936)的《分析学》。他们觉得太老了,应该写一本新的《分析学》。这一建议获得大家的赞同,这是布尔巴基学派最早的起源。1930年,迪厄多内正在准备学位论文,他有一次到柏林,看到范·德瓦尔登的《近世代数学》,欣喜万分,慨叹法国大学生的无知,竟然不知道什么是理想子环。接着,他们又发现范·德·瓦尔登"只精通代数",其他如拓扑、积分、空间等材料含毫无层次地摆着。"我们能不能也像范·德·瓦尔登那样把整个数学写成一套经过整理的专著?"在1934年的一次聚会上,他们从写《分析学》教科书的背景材料开始,准备用三年的时间完成一套专著,依次为:I.集合;II.代数;III.拓扑;IV.实变函数;V.拓扑线性空间;VI.积分。真是初生之犊不畏虎!随着知识的增长,他们发现这是何等艰巨的任务,后来实际上写了30年也没有完成。  


布尔巴基小组的活动形式是每年举行两三次会议,每次总要经过讨论并一致同意写某本书或某几章,然后再由某个自愿按照模糊的计划写初稿。没有太多的约束,完全由他自己去冒险乱闯。一两年后,初稿在布尔巴基会议上宣读,经受"残酷无情"的批评。只有亲临会议的人才能体会到这种批评的毫不留情,以致某些局外人总是带着"疯子集会"的印象离去。年龄相差20岁也不会降低指责和反驳的火力,而且一旦搞清楚了,大家都回心平气和地微笑。每次会议往往把一部稿子批得体无完肤,然后再去写第二稿。一本书要重复六七次,搞得大家都厌烦了,才送去付印。这样,从开始写作到书印出来,大约要七八年,甚至十年。  


1980年代以来,布尔巴基的历史有较多的披露。例如在《数学信使》(Mathematical Intelligencer)上发表了对谢瓦莱德访问纪录(1985, pp.18~22),主要内容有关布尔巴基。  


1992年,韦伊(Andre Weil, 1906~1998)出版了一本自传体的著作:《一个数学家的学徒生涯》(The Apprenticeship of a Mathematician),介绍他40岁以前的经历。韦伊于1906年生于斯特拉斯堡,父亲是医生,母亲是俄国犹太人。1922年考入巴黎高师。 1928年获得博士学位后任职于斯特拉斯堡大学,1930~1932年去印度工作,会见过甘地和尼赫鲁。1920年代末至1930年代初,他遍访柏林、格丁根、瑞士、伦敦,接触名家,甚至能在服兵役期间,于1935年去莫斯科参加国际拓扑学会议,随后访问列宁格勒。在芬兰被当成苏联间谍。1937年访问过普林斯顿,去国墨西哥。1941年,移居美国,战后到巴西工作过。1975年访问北京,1998年去世。作为一个数学家,经历可谓丰富,生活堪称多姿多彩。  


在该书中韦伊以个人的名义回顾了布尔巴基的早期历史。韦伊最要好的朋友是H.嘉当(E.嘉当的儿子),此外是德尔萨特、谢瓦莱。1934年,韦伊和H.嘉当都在斯特拉斯堡大学教授微积分,他们试图改造传统的教材处理方式,例如,把反映重积分和面积分的斯托克斯公式写成 ω=∫B(X)dω. ω是微分形式,dω是它的微分,X是积分区域,B(X)是X的边界。对于这种改变是否行得通,很没有把握。韦伊想起,我们有很多朋友都在教同样的课程,为什么不把大家召集在一起,加以讨论解决呢?1934年的冬天,一个小型会议在圣米歇尔(Saint-Michel)大街的一个巴黎餐馆里举行。韦伊认为这是布尔巴基的诞生。不过,因为年代久远,记忆模糊,确切的日期已记不清了。出席这次会议的有德尔萨特、谢瓦莱、H.嘉当、迪厄多内、韦伊以及其他少数人。上述几个提到名字的人,都自始至终参加布尔巴基的活动,直至自我设计的"退休年龄"——50周岁。现在,大家就把这5个人称之为布尔巴基的奠基人。早期参与活动较多的还有波赛尔(Rene De Possel)、修治(D. Cuedj)、曼德尔博罗伊(Szolem Mandelbrojt, 1899~1983)等人。布尔巴基的档案早先由德尔萨特保管在南锡大学(它是那里的讲师、教授),1968年德尔萨特早逝后,转放在巴黎大学。不过,这些档案并不全。  


韦伊也提到过布尔巴基名字的来历。1923年,韦伊、德尔萨特、H.嘉当都收到一份学校当局的正式邀请函,说是一位来自斯堪的纳维亚的教授来做演讲,要大家务必出席。结果,演讲的人是胡森(Raoul Husson),一位高年级的学生,也是一位"搞笑"的专家。他留着怪怪的胡子,操着南腔北调的口音,不着边际地说一点经典函数论,最后,他提高嗓音说了一个"布尔巴基定理",使听众惊讶得说不出话来。这一故事广为流传,添油加醋,差不多每个学生都知道。  


韦伊写道:"这样,我们都同意用’布尔巴基’的名字作为我们未来作品的作者。"   


1935年,为了确立布尔巴基的存在性,大家必须在法兰西科学院的议会周报上发表一篇署名布尔巴基的文章。但布尔巴基只是姓,还得起个名字。韦伊未来的妻子伊夫兰(Eveline)讨论时也在场,她成了布尔巴基的"教母",为布尔巴基取名尼古拉(Nicolas)。韦伊自告奋勇地写了一篇短文,造了一份简历。布尔巴基的文章还得由一位法国科学院院士加以推荐。当然最好由科学院的秘书长皮卡作推荐,只怕皮卡听到此事后会发生"中风"。于是,去求E.嘉当,把原委都告诉他,并说科学院院士只管文章的学术水平,并不需要检查作者的履历。在一周一次的院士例会上,E.嘉当提交了布尔巴基的论文,并获同意。  


布尔巴基著作的出版,倒是相当顺利。韦伊在第二次世界大战之前就已认识弗雷曼(Enrique Freymann),他继承了岳父的产业,成为赫尔曼出版公司(Hermann Publishing Company)的老板。这一公司不算大,但出版过E.嘉当的《不变积分》(1922)。从1929年起,弗雷曼陆续推出著名的系列丛书:《精确科学和工业》(Acturalites Scientifiques et Industrielles),相当有魄力。当弗雷曼听说布尔巴基的书,几乎立即就答应给予出版,而且不断地给以鼓励。不过,他当时并未料到,布尔巴基的丛书,会成为赫尔曼公司赢利的重要支柱。


第一次正式的布尔巴基聚会,是1935年7月在克莱蒙大学举行的,为时两周。个人的报告涉及从集合论到偏微分方程的许多学科,报告后都作了详尽的讨论。  


1936年9月,谢瓦莱的母亲在都兰(Touraine)的Chancay为布尔巴基聚会找到一个美丽的场所。在这次会议上,大家决定为初出茅庐的数学家,提供包括集合论、拓朴学、代数等的基本知识,为日后的发展打下基础。在起草时,应包括难易不同的习题、历史注记,创造必要的术语和符号,例如:单射、双射、空集符号等。  


1937年暑假仍在Chancay。讨论的课题是一般拓朴、线性拓朴空间等。1938年之后的几年,布尔巴基都没有聚会,但是有书信往来。1943年,H.嘉当、德尔萨特、迪厄多内三人举行过一个小会。书稿从法国寄到瑞士的德·拉姆,再转寄美国,另一份则从伦敦转到韦伊手里,好在都没有丢失。1945年德国法西斯灭亡,布尔巴基重新开始活动。  

在1948年之前,布尔巴基的一切活动,都是自己付费的。完全是一种自愿的创业活动。1948年,美国的洛克菲勒基金会给予支持,才有了一些活动经费。到后来,布尔巴基的声誉日高,书的销路大增,仅用稿酬也能维持了。  


布尔巴基较早的成员还有哪些人难以计数。从韦伊书中的照片来看,至少应该有埃雷斯曼(Charles Ehresmann, 1905~1979)、赛尔、科斯居尔(Jean-Louis Koszul, 1921~)等人。在对赛尔的访问记录里,认为布尔巴基有四代:奠基者、中生代、年轻一代、今日布尔巴基。具体名单仍然保密。可以提到的名字有阿蒂亚 (Michael Francis Atiyah, 1929~)、卡吉耶(Pierre Emil Cartier, 1932~)、德玛苏(Michel Demazure)、德奥迪(Adrien Douady)、马尔格朗热(Malgrange, 1928~)、伏迪纳(Jean Louis Verdier, 1935~)等人。至今还没有妇女参加布尔巴基。 

 


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布尔巴基学派并没有什么成文的组织章程,年轻人只要愿意来都可以,只要他经得起布尔巴基讨论的熊熊之火。能够参与讨论,那么就自然而然地成为新成员,如果沉默不语,那么就多半不会被再邀请。至于年龄的上限,一般说50岁时必须退出,这是一条不成文的规定。但据1981年访华的一位布尔巴基成员说,50岁以上的成员并不全部退出,仍然参加讨论班,只是不再作报告。但仍可以提问题,提建议,似乎还是"顾问 "。布尔巴基学派历久不衰,至少已有三四代之多,但是仍然保持着旺盛的生命力,这是以特殊的作风和精神力量维系着的。  


迪厄多内在布加勒斯特的报告中指出,布尔巴基的基本指导思想是结构主义。他们认为,全部数学基于三种姆结构:代数结构、序结构和拓朴结构。30余卷的《数学原本》贯穿了这一思想,作者们把一些理论的基本概念仔细加以剖析,拆成零件(各种结构),然后整理归纳,把某个理论放在整个结构的适当位置上。他们不崇尚技巧而重视结构。像数论中的高超技巧,函数论的精密估计,概率论中的详细计算,都不能纳入布尔巴基体系。结构主义观点在"新数学"运动中,曾被一些中学教材奉为指导思想,由此也可以看出布尔巴基学派对数学界影响之深。  


1930年代的"布尔巴基运动"在法国真正达到"席卷一切"的程度。曾经是"函数论王国"的法兰西,现在的函数论研究几乎荡然无存。1977年,我国青年数学家杨乐(1939~)、张广厚(1937~1987)在亚纯函数值分布理论的重大成就,可溯源于熊庆来 (1893~1969)在法国的工作,应该说是从"函数论王国"传出来的。1979年,布尔巴基的著名成员韦伊来我国访问听到这一情况时,他耸耸肩说:" 法国已经没有人搞了。"布尔巴基运动在这方面也许太过分了。  


布尔巴基的成员是流动的,每一时期较固定的成员大约有十来个人。迪厄瓦内可说是一个著作家,是布尔巴基的主笔,他写了大量的论文,但更善于写带有自己色彩的专著,如《分析学专论》(Treatise on Analysis),堪称一部详尽的现代分析学著作。近来似乎醉心于数学史,他主编的《1700~1900简明数学史》已出版。韦伊可说是二十世纪中叶以后最重要的数学家之一,他在代数数论和代数几何上的工作是极为深刻的。由于他在法国南锡和美国芝加哥工作,曾戏称布尔巴基是在南加哥(Nancago)大学任职。他是布尔巴基的一员主将。艾伦伯格是布尔巴基小组中唯一的外籍人,他是同调代数的制定者。另一位成员H.嘉当也是一个大数学家,以研究多复变函数和同调代数驰名。谢瓦莱建立了李群和有限群之间的桥梁。广义函数的奠基人施瓦茨(Laurent Schwartz,1915~)和现代代数几何学家格罗滕迪克(Alexandre Grothendieck,1928~)两人都获得过菲尔兹奖并曾参加过布尔巴基小组,把大家带入两个深入的数学分支。后期的布尔巴基成员不能一一例举。《数学原本》的代数部分得力于赛尔,他也是菲尔兹奖的获得者。布尔巴基学派吸引了一批最有能力的数学家,是20世纪最有影响的学派之一。  


布尔巴基的《数学原本》暂告一段落,目前正将已出各卷重新修订。由于出版的版权问题,新卷次恐怕近期不会再出,目前正在出的布尔巴基讨论班上的报告集。从1948年 12月起,每年都举行布尔巴基讨论班,每年度2月、6月、11月在巴黎法兰西学院举行三次,每次五个报告。这些报告都编集出版,到1995年,全部报告已超过八百篇,内容是关于数学的最新发展,包括各个方面。对布尔巴基成员来说,只限于代数或拓朴或分析的某一门,那是不允许的,"你必须有适应一切数学的能力。"A.博雷尔(Armand Borel, 1923~)在回顾参与布尔巴基活动的往事时说:"布尔巴基并没有实现他的所有梦想,达成全部的目标。在我看来,这已经足够了。在培植数学的整体观念、数学基础的统一性、叙述风格、符号选择等等方面,对数学发展产生了持久的影响。" "在我心中永远保留的回忆是,数学家们多年的无私合作,各不相同的个性能朝向共同的目标,在数学史上也许是绝无仅有的。"   



布尔巴基学派 数学史上的达芬奇密码数学

布尔巴基学派在1960年待达到鼎盛时期,以后慢慢走下坡路。对他持批评态度的人开始多起来,例如过于形式化,忽视应用。一个科学团体,能有如此长期而有效的合作,在历史上似乎并不多见。开展布尔巴基运动的几位年轻人,给后人留下了许多珍贵的精神财富,人们将永远记得他们的功绩。布尔巴基(Bourbaki)学派,是由一批法国年轻数学家组成的研究集体,形成于20世纪30年代中期。起初,他们以尼古拉斯·布尔巴基的笔名发表著作,1968年才正式公开了自已的身份。其主要成员先后有让·迪多内、安德列·魏依和亨利·嘉当(以上两人为沃尔夫数学奖得主),克劳德·歇瓦莱、劳伦特·施瓦兹、亚利山大·格罗申第克和让—皮埃尔·塞尔(后三人均曾获菲尔兹奖)等。布尔巴基学派的工作,是对现代数学的主要思想进行分类和概括。他们强调数学的抽象结构和整体上的统一性。以此为出发点,他们编写出版了《数学原本》这套巨著。首卷于1939年出版,到70年代中期,共出版了近40卷。它涉及现代数学的大部分领域,将数学知识按结构的观点重新组织,形成了全新的体系。该学派的工作在20世纪50年代和60年代对数学界产生了巨大的影响。


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